第736章 玄极 (第1/2页)
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第?日，全体实数在这一天同时诞生，构成了一个体量为不可数无限的宇宙。
标准分析中用于定义实数的方法是戴德金分割，用两个有限的有理数之间的空隙去定义实数。
按照康威创造的规则，定义1/3的两个数集分别是左集{0.01，0.0101，…}，右集取{0.1，0.11，…}。
其中0.01是分数1/4，0.1则是分数1/2。
左右两个数集中的每一个数都是二进制下的分数，就像是切割那根万世不竭的木棍一样，不断地将数轴分割成两半。
随着无止尽的切割，两个集合中的数越来越多，数轴剩余的长度则越来越短。
最终在无穷次步骤过后，左集和右集中都包含了无限个数，创造出了1/3。
类似的，根号2和π等无理数也可以用这种方式定义。
这种处理方式与康托尔处理实数的方式如出一辙。
在研究实数集合时，为了保证每一个数都有唯一的写法，康托尔将1、0.5这类数字都表示成了0.999…、0.4999…等等与无理数一致的形式。
“好熟悉的感觉。”
阿基里斯低头看了看挂在自己胸前的粉白色螺旋钥匙。
康威创造实数宇宙的过程就像是一台芝诺机。
第一天花费了1秒，创造了2个数字。
第二天花费了1/2秒，创造了4个数字。
第3天花费了1/4秒，创造了8个数字。
但普通的芝诺机只能处理一个无穷序列。
康威创造的实数宇宙是芝诺机的升级版，应该称它是二星芝诺机。
到这里为止，这种用两个数集定义一个数的规则并不会比普通的规则多出什么新的有趣之处，反而显得多此一举，极为麻烦。
“?日，实数诞生，宇宙现形。”
“但康威却并没有就此停下。”
阿基里斯注视着石头上显现出来的规则，在这条规则的下方还有未尽之语。
『后出一无穷数，不及玄极。逝日无穷，由是无穷亦高下有序也。』
所谓玄极，指的就是无穷。
不及玄极，也就是比无穷大更小，但却仍旧是无穷的数。
在普通集合论公理规则定义的基数和序数中，并不存在这样的数。
“超实数，用这种新的规则可以定义原本只能用基数和序数衡量的无限大数”
在标准的数学体系中，差别最大的就是有限与无限。
自然数、有理数、实数，虽然它们本身的元素数量都是无限的，甚至还分为可数无限和不可数无限两种类型。
但这两种无限都只能使用集合论的方式来描述，用基数和序数衡量，与人类日常使用的数之间没有关系。
无论是基数运算中的?0+?0=?0、?0x?0=?0，还是序数运算中的1+w=w＜w+1、2xw＝w<wx2。
两者的运算方式对于普通的有限数而言都显得很奇怪。
无限就像是一个幽灵，无论是无穷大还是无穷小，都游离在人类常识的世界之外。
“在遇到无限的时候，用一对互斥的数集定义一个数的方式就显得有意思起来了。”
李恒来到了这块记录着公理规则的漆黑大石头前。
“1/3这个数是由两个数集定义的，并且它们都是包含了可数无限个元素的无穷集合。”
“既然可以用两个包含了无限个元素的无穷集合定义一个实数，那当然也可以把其他的无穷集合取作左集和右集。”
“比如说，在左集中放入全体自然数，创造一个比所有的自然数都更大的数。”
有了这种用两个集合定义一个数的基本规则，无限大数就是一个显而易见的结果。
在第?日，康威不仅创造出了全体实数，同时还创造出了不在实数域中的超实数。
无限大数w=
左集是全体自然数的集合，右集是虚无的空集。
以及与无限大同时诞生的负无限大。
－w=
这里的w不同于用同样的符号表示的超穷序数，而是一个可以进行普通加减运算的具体的数，就像是1、2等等自然数一样。
全新的数轴向着左右两侧无限延伸。
这种延伸比普通实数域的潜无限范围更远，它在混沌虚无中开辟了全新的世界，一直延伸到了实无限的世界中。
毫无疑问，超实数构成的数轴远比实数轴要更长。
如果说可观测宇宙中普通的宇宙大爆炸只是宇宙永无止尽的永恒暴胀留下的一丝微不足道的残影。
那么康威从混沌苍茫中创造数字的第?日所发生的事情则是远远凌驾于此上的更高层次的宇宙大爆炸。
有了无穷大数，无穷小数自然也就同时诞生了。
取右集为｛1，1/2，1/3，…｝，将全体自然数的倒数作为右部，左集取｛0｝，就能得到一个小于一切正实数，却又不为0的无穷小数e。
类似地，将右集取｛1，1/2，1/4…｝，或者｛1，1/9，1/27…｝等等，同样可以得到无穷小数，存在无穷多种不同的选取方法。
全体实数、无穷大数w、无穷小数e，它们都在同一天诞生。
但第?日并不是终点，只是一个开始。
在创造无限大数w的下一日，诞生了比无限大数更大的数。
w+1=
它可以化简为
w+1≡
这个数比w更大，它在数轴上位于w这个数的右侧。
以及一个比无限大数w小，却又大于所有整数的数。
w-1≡
这个新数在普通的集合论公理规则定义的超穷序数中是不存在的。
在这套全新的规则里，无限大数可以像是普通的数一样随意进行加减运算。
通过这种方法，可以得到无穷多个小于无穷大w的无限大数。
w-2≡
w-3≡
它们就是康威所说的不及玄极的无穷数。
时间继续向前流逝，又过去?日以后，到达了第2?日。
